# Вектор, кватернион В алгоритме управления квадрокоптером широко применяются геометрические (и алгебраические) объекты, такие как **векторы** и **кватернионы**. Они позволяют упростить математические вычисления и улучшить читаемость кода. В этой главе мы рассмотрим именно те геометрические объекты, которые используются в алгоритме управления квадрокоптером Flix, причем акцент будет сделан на практических аспектах их использования. ## Система координат ### Оси координат Для работы с объектами в трехмерном пространстве необходимо определить *систему координат*. Как известно, система координат задается тремя взаимно перпендикулярными осями, которые обозначаются как *X*, *Y* и *Z*. Порядок обозначения этих осей зависит от того, какую систему координат мы выбрали — *левую* или *правую*: |Левая система координат|Правая система координат| |-----------------------|------------------------| |Левая система координат|Правая система координат| В Flix для всех математических расчетов используется **правая система координат**, что является стандартом в робототехнике и авиации. Также необходимо выбрать направление осей — в Flix они выбраны в соответствии со стандартом [REP-103](https://www.ros.org/reps/rep-0103.html). Для величин, заданных в подвижной системе координат, связанной с корпусом дрона, применяется порядок FLU: * ось X — направлена **вперед**; * ось Y — направлена **влево**; * ось Z — направлена **вверх**. Для величин, заданных в *мировой* системе координат (относительно фиксированной точки в пространстве) — ENU: * ось X — направлена на **восток** (условный); * ось Y — направлена на **север** (условный); * ось Z — направлена **вверх**. > [!NOTE] > Для системы ENU важно только взаимное направление осей. Если доступен магнитометр, то используются реальные восток и север, но если нет — то произвольно выбранные. Углы и угловые скорости определяются в соответствии с правилами математики: значения увеличиваются против часовой стрелки, если смотреть в сторону начала координат. Общий вид системы координат: Система координат > [!TIP] > Оси координат X, Y и Z часто обозначаются красными, зелеными и синими цветами соответственно. Запомнить это можно с помощью сокращения RGB. ## Вектор
Файл прошивки: vector.h.
**Вектор** — простой геометрический объект, который содержит три значения, соответствующие координатам *X*, *Y* и *Z*. Эти значения называются *компонентами вектора*. Вектор может описывать точку в пространстве, направление или ось вращения, скорость, ускорение, угловые скорости и другие физические величины. В Flix векторы задаются объектами `Vector` из библиотеки `vector.h`: ```cpp Vector v(1, 2, 3); v.x = 5; v.y = 10; v.z = 15; ``` > [!TIP] > Не следует путать геометрический вектор — vector и динамический массив в стандартной библиотеке C++ — std::vector. В прошивке в виде векторов представлены, например: * `acc` — истинное ускорение с акселерометра. * `gyro` — угловые скорости с гироскопа. * `rates` — рассчитанная угловая скорость дрона. * `accBias`, `accScale`, `gyroBias` — параметры калибровки IMU. ### Операции с векторами **Длина вектора** рассчитывается при помощи теоремы Пифагора; в прошивке используется метод `norm()`: ```cpp Vector v(3, 4, 5); float length = v.norm(); // 7.071 ``` Любой вектор можно привести к **единичному вектору** (сохранить направление, но сделать длину равной 1) при помощи метода `normalize()`: ```cpp Vector v(3, 4, 5); v.normalize(); // 0.424, 0.566, 0.707 ``` **Сложение и вычитание** векторов реализуется через простое покомпонентное сложение и вычитание. Геометрически сумма векторов представляет собой вектор, который соединяет начало первого вектора с концом второго. Разность векторов представляет собой вектор, который соединяет конец первого вектора с концом второго. Это удобно для расчета относительных позиций, суммарных скоростей и решения других задач. В коде эти операции интуитивно понятны: ```cpp Vector a(1, 2, 3); Vector b(4, 5, 6); Vector sum = a + b; // 5, 7, 9 Vector diff = a - b; // -3, -3, -3 ``` Операция **умножения на число** `n` увеличивает (или уменьшает) длину вектора в `n` раз (сохраняя направление): ```cpp Vector a(1, 2, 3); Vector b = a * 2; // 2, 4, 6 ``` В некоторых случаях полезна операция **покомпонентного умножения** (или деления) векторов. Например, для применения коэффициентов калибровки к данным с IMU. В разных библиотеках эта операция обозначается по разному, но в библиотеке `vector.h` используется простые знаки `*` и `/`: ```cpp acc = acc / accScale; ``` **Угол между векторами** можно найти при помощи статического метода `Vector::angleBetween()`: ```cpp Vector a(1, 0, 0); Vector b(0, 1, 0); float angle = Vector::angleBetween(a, b); // 1.57 (90 градусов) ``` #### Скалярное произведение Скалярное произведение векторов (*dot product*) — это произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. В математике оно обозначается знаком `·` или слитным написанием векторов. Интуитивно, результат скалярного произведения показывает, насколько два вектора *сонаправлены*. В Flix используется статический метод `Vector::dot()`: ```cpp Vector a(1, 2, 3); Vector b(4, 5, 6); float dotProduct = Vector::dot(a, b); // 32 ``` Операция скалярного произведения может помочь, например, при расчете проекции одного вектора на другой. #### Векторное произведение Векторное произведение (*cross product*) позволяет найти вектор, перпендикулярный двум другим векторам. В математике оно обозначается знаком `×`, а в прошивке — статический метод `Vector::cross()`: ```cpp Vector a(1, 2, 3); Vector b(4, 5, 6); Vector crossProduct = Vector::cross(a, b); // -3, 6, -3 ``` ## Кватернион ### Ориентация в трехмерном пространстве В отличие от позиции и скорости, у ориентации в трехмерном пространстве нет универсального для всех случаев способа представления. В зависимости от задачи ориентация может быть представлена в виде углов Эйлера, матрицы поворота, вектора вращения или кватерниона. Рассмотрим используемые в полетной прошивке способы представления ориентации. ### Углы Эйлера **Углы Эйлера** — *крен*, *тангаж* и *рыскание* — это наиболее «естественный» для человека способ представления ориентации. Они описывают последовательные вращения объекта вокруг трех осей координат. В прошивке углы Эйлера сохраняются в обычный объект `Vector` (хоть и, геометрически говоря, не являются вектором): * Угол по крену (*roll*) — `vector.x`. * Угол по тангажу (*pitch*) — `vector.y`. * Угол по рысканию (*yaw*) — `vector.z`. Особенности углов Эйлера: 1. Углы Эйлера зависят от порядка применения вращений, то есть существует 6 типов углов Эйлера. Порядок вращений, принятый в Flix (и в роботехнике в целом) — рыскание, тангаж, крен (ZYX). 2. Для некоторых ориентаций углы Эйлера «вырождаются». Так, если объект «смотрит» строго вниз, то угол по рысканию и угол по крену становятся неразличимыми. Эта ситуация называется *gimbal lock* — потеря одной степени свободы. Ввиду этих особенности для углов Эйлера не существует общих формул для самых базовых задач с ориентациями, таких как применение одного вращения (ориентации) к другому, расчет разницы между ориентациями и подобных. Поэтому в основном углы Эйлера применяются в пользовательском интерфейсе, но редко используются в математических расчетах. > [!IMPORTANT] > Для углов Эйлера не существует общих формул для самых базовых операций с ориентациями. ### Axis-angle Помимо углов Эйлера, любую ориентацию в трехмерном пространстве можно представить в виде вращения вокруг некоторой оси на некоторый угол. В геометрии это доказывается, как **теорема вращения Эйлера**. В таком представлении ориентация задается двумя величинами: * **Ось вращения** (*axis*) — единичный вектор, определяющий ось вращения. * **Угол поворота** (*angle* или *θ*) — угол, на который нужно повернуть объект вокруг этой оси. В Flix ось вращения задается объектом `Vector`, а угол поворота — числом типа `float` в радианах: ```cpp // Вращение на 45 градусов вокруг оси (1, 2, 3) Vector axis(1, 2, 3); float angle = radians(45); ``` Этот способ более удобен для расчетов, чем углы Эйлера, но все еще не является оптимальным. ### Вектор вращения Если умножить вектор *axis* на угол поворота *θ*, то получится **вектор вращения** (*rotation vector*). Этот вектор играет важную роль в алгоритмах управления ориентацией летательного аппарата. Вектор вращения обладает замечательным свойством: если угловые скорости объекта (в собственной системе координат) в каждый момент времени совпадают с компонентами этого вектора, то за единичное время объект придет к заданной этим вектором ориентации. Это свойство позволяет использовать вектор вращения для управления ориентацией объекта посредством управления угловыми скоростями. > [!IMPORTANT] > Чтобы за единичное время прийти к заданной ориентации, собственные угловые скорости объекта должны быть равны компонентам вектора вращения. Вектора вращения в Flix представляются в виде объектов `Vector`: ```cpp // Вращение на 45 градусов вокруг оси (1, 2, 3) Vector rotation = radians(45) * Vector(1, 2, 3); ``` ### Кватернион
Файл прошивки: quaternion.h.
Вектор вращения удобен, но для математических расчетов еще удобнее использовать **кватернион**. В Flix кватернионы представляются объектами `Quaternion` из библиотеки `quaternion.h`. Кватернион состоит из четырех значений: *w*, *x*, *y*, *z* и рассчитывается из вектора оси вращения (*axis*) и угла поворота (*θ*) по следующей формуле: \\[ q = \left( \begin{array}{c} w \\\\ x \\\\ y \\\\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \\\\ axis\_x \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\\\ axis\_y \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\\\ axis\_z \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{array} \right) \\] На практике оказывается, что **именно такое представление наиболее удобно для математических расчетов**. Проиллюстрируем кватернион и остальные описанные выше способы представления ориентации с помощью интерактивной визуализации. Изменяйте угол поворота *θ* с помощью ползунка (ось вращения константна) и изучите, как меняется ориентация объекта, вектор вращения и кватернион:

> [!IMPORTANT] > В контексте управляющих алгоритмов кватернион — это оптимизированный для расчетов аналог вектора вращения. Кватернион это наиболее часто используемый способ представления ориентации в алгоритмах. Кроме этого, у кватерниона есть большое значение в теории чисел и алгебре, как у расширения понятия комплексного числа, но рассмотрение этого аспекта выходит за рамки описания работы с вращениями с практической точки зрения. В прошивке в виде кватернионов представлены, например: * `attitude` — текущая ориентация квадрокоптера. * `attitudeTarget` — целевая ориентация квадрокоптера. ### Операции с кватернионами Кватернион создается напрямую из четырех его компонент: ```cpp // Кватернион, представляющий нулевую (исходную) ориентацию Quaternion q(1, 0, 0, 0); ``` Кватернион можно создать из оси вращения и угла поворота, вектора вращения или углов Эйлера: ```cpp Quaternion q1 = Quaternion::fromAxisAngle(axis, angle); Quaternion q2 = Quaternion::fromRotationVector(rotation); Quaternion q3 = Quaternion::fromEuler(Vector(roll, pitch, yaw)); ``` И наоборот: ```cpp q1.toAxisAngle(axis, angle); Vector rotation = q2.toRotationVector(); Vector euler = q3.toEuler(); ``` Возможно рассчитать вращение между двумя обычными векторами: ```cpp Quaternion q = Quaternion::fromBetweenVectors(v1, v2); // в виде кватерниона Vector rotation = Vector::rotationVectorBetween(v1, v2); // в виде вектора вращения ``` Шорткаты для работы с вращением по рысканию (удобно для алгоритмов управления полетом): ```cpp float yaw = q.getYaw(); q.setYaw(yaw); ``` #### Применения вращений Чтобы применить вращение, выраженное в кватернионе, к другому кватерниону, в математике используется операция **умножения кватернионов**. При использовании этой операции, необходимо учитывать, что она не является коммутативной, то есть порядок операндов имеет значение. Формула умножения кватернионов выглядит так: \\[ q_1 \times q_2 = \left( \begin{array}{c} w_1 \\\\ x_1 \\\\ y_1 \\\\ z_1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} w_2 \\\\ x_2 \\\\ y_2 \\\\ z_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2 \\\\ w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2 \\\\ w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2 \\\\ w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2 \end{array} \right) \\] В библиотеке `quaternion.h` для этой операции используется статический метод `Quaternion::rotate()`: ```cpp // Композиция вращений q1 и q2 Quaternion result = Quaternion::rotate(q1, q2); ``` Также полезной является операция применения вращения к вектору, которая делается похожим образом: ```cpp // Вращение вектора v кватернионом q Vector result = Quaternion::rotateVector(v, q); ``` Для расчета разницы между двумя ориентациями используется метод `Quaternion::between()`: ```cpp // Расчет вращения от q1 к q2 Quaternion q = Quaternion::between(q1, q2); ``` ## Дополнительные материалы * [Интерактивный учебник по кватернионам](https://eater.net/quaternions). * [Визуализация вращения вектора с помощью кватернионов](https://quaternions.online).